Actualmente, los libros de texto no suelen mencionar el átomo de Kelvin-Thomson. Sin embargo, durante el periodo que va de 1902 a1906 tuvo bastante éxito, hasta que Rutherford demostró que este modelo no podía explicar la dispersión de las partículas alfa por los átomos de una lámina de oro.
Este modelo simple de átomo explicaba bastante bien la valencia química, la emisión de partículas β por los núcleos de elementos radioactivos, etc.
El aspecto didáctico más importante es la aplicación de la ley de Gauss a una distribución esférica y uniforme de carga, y describir el movimiento oscilatorio de los electrones en dicho átomo.
Consideramos el caso más simple, un átomo o ion hidrogenoide con un solo electrón. Suponemos que el átomo tiene forma esférica de radio R, y que la carga positiva Q está uniformemente distribuida en dicha esfera.
El teorema de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga en el interior de dicha superficie dividido entre ε0.
∮ E⋅dS = q ε 0
Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos:
1.-A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.
La distribución de carga tiene simetría esférica, la dirección del campo es radial
2.-Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo
Tomamos como superficie cerrada, una esfera de radio r.
El campo eléctrico E es paralelo al vector superficie dS, y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica como se ve en la figura, por lo que,
∫ S E·dS = ∫ S EdScos0º =E ∫ S dS =E4π r 2
El flujo total es, E·4πr2
3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
Para r<R. (figura de la izquierda)
Si estamos calculando el campo en el interior de la esfera uniformemente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es una parte de la carga total (en color rosado), que se calcula multiplicando la densidad de carga por el volumen de la esfera de radio r.
Para r>R (figura de la derecha)
Si estamos calculando el campo en el exterior de la esfera uniformemente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es la carga total q=Q.
E4π r 2 = q ε 0
Se obtiene
E= Qr 4π ε 0 R 3 ( r<R) E= Q 4π ε 0 r 2 ( r>R)
El campo en el exterior de una esfera cargada con carga Q, tiene la misma expresión que el campo producido por una carga puntual Q situada en su centro.
Potencial a una distancia r del centro de la esfera cargada
Se denomina potencial en un punto P a una distancia r del centro de la esfera cargada V(r) a la diferencia de potencial existente entre el punto P y el infinito V(r)-V(∞ ). Por convenio, se establece que en el infinito la energía potencial es cero.
Representamos el módulo del campo eléctrico E, en función de la distancia r al centro de la esfera cargada, en los intervalos 0< r<R y r>R
r>R. Para hallar el potencial en un punto P que está fuera de la esfera cargada basta hallar el área sombreada (figura de la derecha)
V= ∫ r ∞ Q 4π ε 0 r 2 dr= Q 4π ε 0 r
r<R. Para calcular el potencial en un punto P, en el interior de la esfera cargada, es necesario sumar dos áreas, por ser la función que describe la dependencia del campo E con r, discontinua en el punto
r=R. (figura de la izquierda)
V(r)= ∫ r R Qr 4π ε 0 R 3 dr+ ∫ R ∞ Q 4π ε 0 r 2 dr= Q 4π ε 0 r = Q 4π ε 0 R ( 3 2 − 1 2 r 2 R 2 )
Energía de ionización
La energía de ionización, es la energía mínima necesaria para sacar al electrón situado en el origen de la esfera cargada hasta el infinito.
W 1 =qV(0)= 3 2 qQ 4π ε 0 R
Para un átomo con un electrón q=Q=e=1.6 10-19 C. R≈ 10-10 m. W1=3.456 10-18 J=21.6 eV.
Que es algo mayor que la energía de ionización del electrón en un átomo de hidrógeno en el estado fundamental, 13.6 eV.
Energía potencial de una distribución de cargas
Vamos a calcular ahora la energía necesaria para formar la distribución uniforme de carga positiva. O bien, la energía que se liberaría cuando la distribución uniforme de carga positiva explotase de modo que cada parte de ella estuviese a una distancia infinita una de la otra.
Determinaremos la expresión de la energía de un sistema de tres cargas, y la generalizamos para una distribución continua de carga.
Consideremos un sistema de tres cargas puntuales fijas q1, q2 y q3, tal como se indica en la figura.
thomson3.gif (3053 bytes)
La energía de este sistema U vale
U= E p12 + E p13 + E p23 = 1 4π ε 0 q 1 q 2 r 12 + 1 4π ε 0 q 1 q 3 r 13 + 1 4π ε 0 q 2 q 3 r 23
Llamando V1 al potencial producido por las cargas q2 y q3 en la posición que ocupa q1. La energía de la carga q1 en el campo producido por las otras dos es
q 1 V 1 = q 1 ( 1 4π ε 0 q 3 r 13 + 1 4π ε 0 q 2 r 12 )= 1 4π ε 0 q 1 q 3 r 13 + 1 4π ε 0 q 1 q 2 r 12
Análogamente, llamando V2 al potencial producido por las cargas q1 y q3 en la posición que ocupa q2. La energía de la carga q2 en el campo producido por las otras dos es
q 2 V 2 = q 2 ( 1 4π ε 0 q 1 r 12 + 1 4π ε 0 q 3 r 23 )= 1 4π ε 0 q 1 q 2 r 12 + 1 4π ε 0 q 2 q 3 r 23
Del mismo modo, llamando V3 al potencial producido por las cargas q1 y q2 en la posición que ocupa q3. La energía de la carga q3 en el campo producido por las otras dos es
q 3 V 3 = q 3 ( 1 4π ε 0 q 1 r 13 + 1 4π ε 0 q 2 r 23 )= 1 4π ε 0 q 1 q 3 r 13 + 1 4π ε 0 q 2 q 3 r 23
Sumando estas tres contribuciones obtenemos el doble de la energía del sistema de partículas
U= 1 2 ( q 1 V 1 + q 2 V 2 + q 3 V 3 )= 1 2 ∑ q i V i
Energía de la esfera cargada
Volviendo de nuevo a la esfera uniformemente cargada, el potencial Vi se sustituye por el potencial en la posición r, V(r) que hemos calculado previamente.
La carga qi se sustituye por la carga que hay en la capa esférica comprendida entre r y r+dr. El volumen de dicha capa esférica es 4π r2dr, y la carga que hay en este volumen vale (densidad de carga por volumen)
3Q r 2 R 3 dr
La energía vale entonces
W 2 = 1 2 ∫ 0 R V(r)dq = 1 2 ∫ 0 R Q 4π ε 0 R ( 3 2 − 1 2 r 2 R 2 ) 3Q r 2 R 3 dr = 3 5 Q 2 4π ε 0 R
Energía total del átomo de Kelvin-Thomson
La energía total de nuestro modelo de átomo de hidrógeno Q=q=e, es la diferencia entre dos energías:
la energía necesaria para formar la distribución uniforme de carga positiva W2
la energía necesaria para sacar el electrón de la atracción de dicha carga W1 (energía de ionización)
W= W 2 − W 1 =− 9 10 e 2 4π ε 0 R
http://www.sc.ehu.es/sbweb/ocw-fisica/index.html
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